2. 수학 심화 탐험: 극한과 미분 더 알아보기
축하합니다! 🎉 수학 기초 다지기 1단원을 멋지게 끝내셨군요! 이제 여러분은 함수와 그래프, 그리고 변화를 엿보는 미분의 기본 개념을 훌륭하게 이해하고 있어요. 마치 튼튼한 날개를 얻은 것처럼, 더 높이, 더 멀리 수학의 세계를 탐험할 준비가 되셨다는 뜻이죠!
이번 2단원에서는 극한과 미분에 대해 조금 더 깊이 들어가 볼 거예요. 극한을 계산하는 다양한 방법, 신기하고 특별한 함수 친구들, 그리고 미분을 자유자재로 사용하는 비법까지! 새로운 내용들이 여러분을 기다리고 있답니다. 살짝 어려울 수도 있지만, 걱정 마세요! 친절한 설명과 재미있는 예시로 여러분의 수학 실력을 한 단계 업그레이드 시켜줄게요! 자, 심호흡 크게 한번 하고, 수학 심화 탐험을 시작해볼까요? Let’s go! 🚀
2.1 극한 계산 맛보기 😋
지난번에 극한은 ‘어떤 값에 끝없이 가까워지는 것’이라고 배웠죠? 마치 ‘가까이, 더 가까이, 점점 더 가까이!’ 하는 것처럼요! 오늘은 이 극한을 실제로 계산하는 맛있는 방법을 몇 가지 알아볼 거예요. 마치 요리 레시피처럼, 차근차근 따라 하면 극한 계산도 문제없답니다!
1. 극한 ‘직접 대입’ 레시피 🥄
가장 기본적인 극한 계산 방법은 바로 ‘직접 대입’ 이에요. 함수에 x 값을 극한 값에 그냥 쏙! 대입해보는 거죠. 너무 쉽다고요? 하지만 정말로 간단하고 강력한 방법이랍니다!
예시 1: $ \lim_{x \to 3} (2x + 1) $
- 레시피: x 자리에 3을 직접 대입해 보세요!
- 계산: $ 2 \times 3 + 1 = 7 $
- 결론: $ \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7 $ (x가 3에 가까워질 때, 2x+1은 7에 가까워진다!)
예시 2: $ \lim_{x \to -1} (x^2 - 3x + 4) $
- 레시피: x 자리에 -1을 직접 대입해 보세요!
- 계산: $ (-1)^2 - 3 \times (-1) + 4 = 1 + 3 + 4 = 8 $
- 결론: $ \lim_{x \to -1} (x^2 - 3x + 4) = 8 $ (x가 -1에 가까워질 때, x²-3x+4는 8에 가까워진다!)
2. 극한 ‘약분’ 레시피 ✂️
가끔은 직접 대입이 안 되는 경우가 있어요. 분모가 0이 되는 경우처럼요! 이럴 때는 ‘약분’ 레시피를 사용해 보세요. 분자와 분모를 똑같이 나눌 수 있는 부분을 찾아서 싹둑! 잘라내는 거죠. 약분을 하고 나면, 신기하게도 직접 대입이 가능해지는 경우가 많답니다!
예시 3: $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $
- 문제: x 자리에 2를 직접 대입하면 분모가 0이 되네요! 😱 직접 대입 레시피 실패!
- 레시피: 분자를 인수분해해서 분모와 똑같은 인수를 찾아 약분해 보세요!
- 계산:
- 분자 인수분해: $ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $ (합차 공식!)
- 약분: $ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 $ (분모 분자를 (x-2)로 약분!)
- 약분 후 식에 x=2 대입: $ 2 + 2 = 4 $
- 결론: $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 $ (약분 마법! 극한 값이 4로 짜잔!)
3. 극한 ‘분모 분자 똑같이 나누기’ 레시피 ➗
분수 형태의 극한에서 분모가 무한대로 커지는 경우에는 ‘분모 분자 똑같이 나누기’ 레시피를 사용해 보세요. 분모와 분자를 똑같은 값으로 나누어도 분수의 값은 변하지 않는다는 사실! 이 점을 이용해서 분모를 간단하게 만들고 극한 값을 쉽게 구할 수 있답니다.
예시 4: $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 5} $
- 문제: x가 무한대로 커지면 분모, 분자 모두 무한대로 커지네요! 🤯 어떻게 계산해야 할까요?
- 레시피: 분모의 최고차항인 으로 분모, 분자를 똑같이 나누어 보세요!
- 계산:
- 분모 분자를 으로 나누면: $ \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{5}{x^2}} = \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{5}{x^2}} $
- 이면 $ \frac{2}{x}, \frac{1}{x^2}, \frac{5}{x^2} $ 은 모두 0에 가까워지므로: $ \frac{3 + 0 - 0}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3 $
- 결론: $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 5} = 3 $ (무한대 앞에서도 당황하지 않고, 답은 3!)
이처럼 극한 계산에는 다양한 레시피들이 있답니다. 레시피들을 잘 익혀두고, 문제에 맞는 방법을 척척 골라서 사용하면 극한 계산도 어렵지 않아요! 앞으로 더 많은 레시피들을 배우고 연습하면서 극한 계산 전문가가 되어 보자고요! 💪
2.2 특별한 함수 친구들: 삼각함수와 쌍곡선 함수 💫
수학에는 정말 다양한 함수들이 살고 있어요. 그중에서도 오늘 만날 친구들은 아주 특별하고 매력적인 함수들이랍니다. 바로 삼각함수와 쌍곡선 함수예요! 이름은 조금 어렵게 느껴질 수 있지만, 걱정 마세요! 쉽고 재미있게 소개해줄게요! 😊
1. 삼각함수: 원을 닮은 아름다운 함수 ⭕
삼각함수는 원과 아주 깊은 관계를 가진 함수들이에요. 원을 뱅글뱅글 돌면서 만들어지는 아름다운 곡선들을 그래프로 가지고 있답니다. 대표적인 삼각함수 친구들은 사인함수 (sin), 코사인함수 (cos), 탄젠트함수 (tan) 예요.
- 사인함수 (sin): 원의 높이 변화를 나타내는 함수예요. 파도처럼 울렁울렁 반복되는 그래프를 가지고 있어요.
- 코사인함수 (cos): 원의 가로 변화를 나타내는 함수예요. 사인함수와 비슷하게 울렁울렁 반복되지만, 시작점이 조금 달라요.
- 탄젠트함수 (tan): 원의 기울기 변화를 나타내는 함수예요. 사인, 코사인 함수와는 조금 다르게 훨훨 날아오르는 듯한 그래프를 가지고 있어요.
삼각함수는 각도를 입력 값으로 받아서, 비율 값을 출력 값으로 내놓는 함수예요. 각도는 우리가 각을 잴 때 사용하는 단위이고, 비율 값은 두 길이의 비율을 나타내는 값이죠. 삼각함수는 각도와 비율 사이의 관계를 아름답게 표현해준답니다.
2. 쌍곡선 함수: 쌍곡선을 닮은 특별한 함수 hyperbolic curve hyperbolique ♾️
쌍곡선 함수는 쌍곡선이라는 특별한 곡선을 닮은 함수들이에요. 삼각함수처럼 신기하고 재미있는 성질들을 많이 가지고 있답니다. 대표적인 쌍곡선 함수 친구들은 쌍곡선 사인함수 (sinh), 쌍곡선 코사인함수 (cosh), 쌍곡선 탄젠트함수 (tanh) 예요.
- 쌍곡선 사인함수 (sinh): 사인함수와 비슷하지만, 그래프 모양이 조금 달라요. 쭉 뻗어 나가는 듯한 느낌을 줘요.
- 쌍곡선 코사인함수 (cosh): 코사인함수와 비슷하지만, y축 대칭인 ∪ 모양의 그래프를 가지고 있어요. 아래로 볼록한 포물선과 비슷해 보이기도 해요.
- 쌍곡선 탄젠트함수 (tanh): 탄젠트함수와 비슷하지만, 값이 -1과 1 사이로 제한되어 있어요. S자 모양으로 굽이치는 그래프를 가지고 있어요.
쌍곡선 함수는 겉모습은 삼각함수와 비슷하지만, 정의와 성질이 조금 달라요. 삼각함수가 원과 관련 있다면, 쌍곡선 함수는 쌍곡선과 관련이 깊답니다. 쌍곡선 함수는 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 중요하게 사용되는 특별한 함수들이에요.
삼각함수와 쌍곡선 함수는 모두 극한과 미분을 배우는 데 아주 중요한 역할을 한답니다. 앞으로 이 특별한 함수 친구들을 더 자세히 알아보고, 극한과 미분과 어떤 관계를 맺고 있는지 함께 탐험해 볼 거예요! 🗺️
2.3 더 다양한 극한 계산 방법 💡
극한 계산 레시피, 벌써 두 가지나 배웠죠? 직접 대입 레시피와 약분 레시피! 하지만 세상에는 더 다양하고 복잡한 극한 문제들이 기다리고 있답니다. 걱정 마세요! 오늘은 극한 계산 전문가가 되기 위한 비장의 무기들을 더 장착해 드릴게요! 💪
1. 0/0 꼴 극한: 로피탈의 정리 (L'Hôpital's Rule) 🚀
0/0 꼴 극한은 분자와 분모가 모두 0으로 가까워지는 아주 골치 아픈 극한이에요. 직접 대입도 안 되고, 약분도 바로 안 보일 때가 많죠. 이럴 때 ‘로피탈의 정리’ 라는 최강 무기를 사용하면, 순식간에 극한 값을 구할 수 있답니다!
로피탈의 정리: $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ 가 0/0 꼴 이라면, $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $ (단, 는 각각 의 미분)
로피탈의 정리는 0/0 꼴 극한을 미분을 이용하여 더 간단한 극한으로 바꿔주는 마법 같은 정리예요. 분자와 분모를 각각 미분한 후에 극한을 계산하면, 신기하게도 답이 뿅! 하고 나타난답니다.
예시 5: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ (삼각함수 극한! 아까 봤던 특별한 극한이죠?)
- 문제: x 자리에 0을 대입하면 분자 sin(0)=0, 분모도 0! 😱 0/0 꼴 극한이네요!
- 로피탈의 정리 사용:
- 분자 미분: $ (\sin x)' = \cos x $
- 분모 미분: $ (x)' = 1 $
- 미분 후 극한 계산: $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos 0}{1} = \frac{1}{1} = 1 $
- 결론: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ (로피탈 정리! 극한 값이 1로 순식간에 해결!)
2. 무한대/무한대 꼴 극한: 최고차항 비교 🚀
무한대/무한대 꼴 극한은 분자와 분모가 모두 무한대로 커지거나 작아지는 극한이에요. 이런 극한은 누가 더 빨리 무한대로 커지는지, 누가 더 강력한 ‘무한대 파워’를 가졌는지 비교하면 쉽게 풀 수 있답니다!
최고차항 비교: 분자와 분모의 최고차항 (가장 큰 지수를 가진 항) 만 비교해 보세요!
- 분자 최고차항 지수 > 분모 최고차항 지수: 극한 값은 무한대 (∞) 또는 마이너스 무한대 (-∞) 로 발산! (분자가 훨씬 강력!)
- 분자 최고차항 지수 < 분모 최고차항 지수: 극한 값은 0 으로 수렴! (분모가 훨씬 강력!)
- 분자 최고차항 지수 = 분모 최고차항 지수: 극한 값은 최고차항 계수의 비율 로 수렴! (무한대 파워가 비슷!)
예시 6: $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x + 5}{3x^3 + 4x^2 - 7} $
- 문제: x가 무한대로 커지면 분모, 분자 모두 무한대로! 🤯 무한대/무한대 꼴 극한이네요!
- 최고차항 비교:
- 분자 최고차항: (지수 3, 계수 2)
- 분모 최고차항: (지수 3, 계수 3)
- 최고차항 지수 같음! 극한 값은 계수의 비율!
- 결론: $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x + 5}{3x^3 + 4x^2 - 7} = \frac{2}{3} $ (최고차항 비교! 극한 값은 계수 비율인 2/3!)
3. 극한의 성질 활용 🧩
극한에도 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 과 같은 성질들이 있어요. 극한의 성질을 잘 이용하면 복잡한 극한을 더 간단한 극한들로 쪼개서 계산할 수 있답니다. 마치 레고 블록처럼, 복잡한 모양도 작은 블록들을 조립해서 만들 수 있는 것처럼요!
극한의 주요 성질: (c는 상수)
- 합/차: $ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $
- 곱: $ \lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) $
- 나눗셈: $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} $ (단, $ \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 $)
- 상수: $ \lim_{x \to a} c = c $ , $ \lim_{x \to a} cx = c \lim_{x \to a} x $
예시 7: $ \lim_{x \to 1} (3x^2 + 2x - 5) $
- 문제: 복잡해 보이는 다항함수의 극한! 😥 어떻게 쪼개서 계산해야 할까요?
- 극한의 성질 활용: 극한의 합, 차, 상수배 성질을 이용해서 극한을 쪼개 보세요!
- 계산:
- $ \lim_{x \to 1} (3x^2 + 2x - 5) = \lim_{x \to 1} 3x^2 + \lim_{x \to 1} 2x - \lim_{x \to 1} 5 $ (합, 차 성질)
- $ = 3 \lim_{x \to 1} x^2 + 2 \lim_{x \to 1} x - \lim_{x \to 1} 5 $ (상수배 성질)
- $ = 3 \times 1^2 + 2 \times 1 - 5 $ (직접 대입)
- $ = 3 + 2 - 5 = 0 $
- 결론: $ \lim_{x \to 1} (3x^2 + 2x - 5) = 0 $ (극한의 성질! 복잡한 극한도 쉽게 해결!)
이처럼 극한 계산 방법은 정말 다양하답니다. 레시피들을 잘 익혀두고, 문제에 맞는 방법을 척척 골라서 사용하면, 어떤 극한 문제도 문제없어요! 계속해서 연습하고 숙달해서 극한 계산 마스터가 되어 보자고요! 🏆
2.4 미분 마스터하기 ✍️
미분, 이제 슬슬 친해지고 있나요? 😊 미분은 함수의 ‘기울기’ 를 구하는 마법 상자라고 했죠! 오늘은 이 마법 상자를 더 자유자재로 다루는 비법, 바로 미분법을 마스터하는 시간을 가져볼 거예요! 미분법은 마치 요리 레시피처럼, 함수의 종류에 따라 정해진 미분 공식들을 알려주는 꿀팁 모음집이랍니다! 🍯
1. 기본 미분 공식 🧱
가장 기본적인 미분 공식 블록들을 먼저 알아볼까요? 이 블록들만 잘 쌓아도 웬만한 함수들은 다 미분할 수 있답니다!
- 상수 함수 미분: 상수 함수 (예: ) 는 미분하면 0 이 돼요. 변하지 않는 함수는 기울기가 0! 당연하죠?
- $ (c)' = 0 $ (c는 상수)
- 거듭제곱 함수 미분: 꼴의 함수 (예: ) 는 미분하면 지수가 앞으로 톡! 내려오고, 지수는 1 작아져요.
- $ (x^n)' = n x^{n-1} $ (n은 실수)
- 상수 곱 미분: 함수에 상수가 곱해져 있는 경우 (예: ) 는 상수는 그대로 놔두고, 함수만 미분하면 돼요.
- $ (cf(x))' = c f'(x) $ (c는 상수)
- 합/차 미분: 함수들이 더하거나 빼져 있는 경우 (예: ) 는 각각 미분해서 더하거나 빼면 돼요.
- $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $
2. 특별한 함수 미분 공식 🌟
특별한 함수 친구들, 삼각함수와 쌍곡선 함수 미분 공식도 알아볼까요? 공식들은 조금 복잡해 보이지만, 외워두면 아주 유용하답니다!
- 삼각함수 미분:
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (\tan x)' = \sec^2 x $ ()
- 쌍곡선 함수 미분:
- $ (\sinh x)' = \cosh x $
- $ (\cosh x)' = \sinh x $
- $ (\tanh x)' = \sec h^2 x $ ()
3. 미분 연산 법칙 ⚙️
미분 공식 블록들을 조립해서 더 복잡한 함수를 미분하려면 미분 연산 법칙이 필요해요. 마치 레고 블록 조립 설명서처럼, 어떤 순서와 규칙으로 블록들을 연결해야 하는지 알려주는 거죠!
- 곱의 미분: 두 함수가 곱해져 있는 경우 (예: )
- $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ (앞 함수 미분 * 뒤 함수 + 앞 함수 * 뒤 함수 미분)
- 몫의 미분: 두 함수가 나누어져 있는 경우 (예: )
- $ [\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ (분모 제곱 분에, 분자 미분 * 분모 - 분자 * 분모 미분)
- 합성함수 미분 ( chain rule ): 함수 안에 또 다른 함수가 들어가 있는 경우 (예: )
- $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \times g'(x) $ (겉 함수 미분 (속 함수 그대로) * 속 함수 미분)
미분법 공식들과 연산 법칙들을 잘 익혀두면, 어떤 함수가 와도 척척 미분할 수 있어요! 마치 만능 맥가이버 칼처럼, 어떤 문제든 해결할 수 있는 강력한 도구를 갖게 되는 거죠! 자, 이제 미분 실력 발휘하러 가볼까요? 슝! 🚀
2.5 미분 실력 발휘 예제 💪
미분법 공식과 연산 법칙, 잘 익히셨나요? 이제 배운 내용을 실제로 활용해볼 시간이에요! 다양한 미분 예제들을 풀어보면서 미분 실력을 쑥쑥 키워보자고요! 마치 게임 퀘스트를 깨는 것처럼, 하나씩 차근차근 미분 문제를 정복해 나가면 뿌듯함을 느낄 수 있을 거예요! 😊
2.5.1 예제 8: 다항함수 미분
문제: 다음 함수를 미분하시오.
$ f(x) = 5x^3 + 2x^2 - 7x + 4 $
- 문제 분석: 다항함수 미분 문제네요! 합/차 미분, 상수 곱 미분, 거듭제곱 함수 미분, 상수 함수 미분 공식들을 사용하면 되겠어요!
- 풀이:$ = (5x^3)' + (2x^2)' - (7x)' + (4)' $ (합/차 미분)$ = 5 \times 3x^{3-1} + 2 \times 2x^{2-1} - 7 \times 1x^{1-1} + 0 $ (거듭제곱, 상수 함수 미분)
- $ = 15x^2 + 4x - 7 $
- $ = 5(x^3)' + 2(x^2)' - 7(x)' + (4)' $ (상수 곱 미분)
- $ f'(x) = (5x^3 + 2x^2 - 7x + 4)' $
- 정답: $ f'(x) = 15x^2 + 4x - 7 $
2.5.2 예제 9: 곱의 미분
문제: 다음 함수를 미분하시오.
$ g(x) = x^2 \sin x $
- 문제 분석: 두 함수 와 가 곱해져 있네요! 곱의 미분 공식을 사용해야겠어요!
- 풀이:$ = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' $ (곱의 미분 공식)
- $ = 2x \sin x + x^2 \cos x $ (거듭제곱, 삼각함수 미분)
- $ g'(x) = (x^2 \sin x)' $
- 정답: $ g'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x $
2.6 다변수 함수: 변수가 여러 개라면? 🤯
지금까지는 변수가 하나인 함수, 즉 일변수 함수만 다뤄봤어요. 처럼 입력 값이 하나이고, 출력 값도 하나인 함수였죠. 하지만 세상에는 변수가 여러 개인 함수들도 많이 있답니다! 마치 여러 개의 재료를 넣어야 맛있는 요리가 완성되는 레시피처럼 말이에요. 이런 함수들을 다변수 함수라고 불러요.
2.6.1 다변수 함수란 무엇일까요?
다변수 함수는 입력 값이 여러 개이고, 출력 값은 하나인 함수예요. 예를 들어,
- 피자 가격 함수: 피자 가격은 피자의 크기, 토핑 종류, 브랜드 등 여러 가지 요인에 따라 달라지죠? 피자 가격은 다변수 함수의 좋은 예시랍니다. 입력 값은 피자 크기, 토핑 종류, 브랜드 등이 되고, 출력 값은 피자 가격이 되는 거예요.
날씨 온도 함수: 특정 지역의 현재 온도는 시간, 날짜, 계절, 위도, 고도 등 다양한 요인에 영향을 받아요. 날씨 온도도 다변수 함수로 생각할 수 있겠죠? 입력 값은 시간, 날짜, 계절, 위도, 고도 등이 되고, 출력 값은 현재 온도가 되는 거예요.
수학에서는 다변수 함수를 보통 이렇게 표현해요.
- $ f(x, y) $: 변수가 2개인 함수 (입력 값: x, y, 출력 값: f(x, y))
- $ f(x, y, z) $: 변수가 3개인 함수 (입력 값: x, y, z, 출력 값: f(x, y, z))
- $ f(x_1, x_2, ..., x_n) $: 변수가 n개인 함수 (입력 값: , 출력 값: )
변수가 2개인 함수 의 그래프는 더 이상 평면 위에 그릴 수 없어요. 3차원 공간에 그래프를 그려야 한답니다. 마치 산이나 지형처럼 울퉁불퉁한 모양을 상상하면 돼요. 축, 축 뿐만 아니라 높이를 나타내는 축이 하나 더 필요하거든요.
다변수 함수는 인공지능 분야에서 정말 중요한 역할을 해요. 인공지능 모델은 보통 수많은 입력 변수 (예: 이미지 픽셀 값, 텍스트 단어 빈도, 센서 데이터 등) 를 받아서 어떤 결과 (예: 이미지 종류, 텍스트 감정, 미래 예측 등) 를 예측하는데, 이때 다변수 함수가 핵심적인 도구로 사용된답니다.
2.7 다변수 함수의 극한과 미분 🎢
다변수 함수에도 극한과 미분 개념이 있을까요? 네, 물론입니다! 다만 일변수 함수보다 조금 더 복잡하고 섬세한 개념들이 필요해요. 마치 롤러코스터처럼, 3차원 공간을 굽이굽이 질주하는 듯한 느낌으로 다변수 함수의 극한과 미분을 탐험해볼까요? 🎢
2.7.1 다변수 함수의 극한: 모든 방향에서 가까워져야 한다! 🧭
일변수 함수의 극한은 x 값이 오른쪽 또는 왼쪽에서 특정 값에 가까워지는 경우만 생각하면 됐죠? 하지만 다변수 함수는 입력 값이 여러 방향에서 특정 값에 가까워질 수 있어요. 예를 들어, 에서 가 에 가까워질 때는 x축 방향, y축 방향, 대각선 방향 등 무수히 많은 방향에서 가까워질 수 있답니다.
다변수 함수의 극한이 존재하려면, 모든 가능한 방향에서 특정 점 에 한없이 가까워질 때, 함수 값 가 똑같은 값에 가까워져야 해요. 만약 어느 방향에서 가까워지느냐에 따라 함수 값이 다른 값에 가까워진다면, 그 점에서 극한은 존재하지 않는다고 말합니다. 조금 까다롭죠?
2변수 함수에서의 극한과 연속성을 확인하는 방법을 살펴보겠습니다.
우선 2변수 함수 $f(x,y)$가 다음 세 가지 조건을 만족하게 되면 연속입니다!
- $f(a, b)$의 값이 유일하게 정의된다.
- $\lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}$ 가 존재한다.
- $\lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)} = f(a,b)$
2.7.2 편미분: 변수 하나씩 미분하기! 🔪
다변수 함수를 미분할 때는 ‘편미분 (partial derivative)’ 이라는 특별한 방법을 사용해요. 편미분은 ‘하나의 변수만’ 변수로 생각하고, 나머지 변수들은 모두 ‘상수’ 로 취급하여 미분하는 거예요. 마치 요리사가 여러 재료 중 하나씩 재료의 맛을 음미하면서 요리하는 것처럼, 변수 하나하나의 변화율을 따로따로 살펴보는 거죠.
편미분 기호:
- $ \frac{\partial f}{\partial x} $ (라운드 d 라고 읽어요) : 에 대한 편미분 (y는 상수로 취급)
- $ \frac{\partial f}{\partial y} $ : 에 대한 편미분 (x는 상수로 취급)
예시 10: $ f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 - 2x + 5y $ 편미분하기
- x에 대한 편미분: y를 상수처럼 생각하고 x에 대해서만 미분!
- $ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y + 3xy^2 - 2x + 5y) $
- $ = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x} (3xy^2) - \frac{\partial}{\partial x} (2x) + \frac{\partial}{\partial x} (5y) $ (합/차 미분)
- $ = y \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + 3y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x) - 2 \frac{\partial}{\partial x} (x) + 5 \frac{\partial}{\partial x} (y) $ (상수 곱 미분, y, , 5는 상수!)
- $ = y \times 2x + 3y^2 \times 1 - 2 \times 1 + 5 \times 0 $ (거듭제곱, 상수 함수 미분)
- $ = 2xy + 3y^2 - 2 $
- y에 대한 편미분: x를 상수처럼 생각하고 y에 대해서만 미분!
- $ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y + 3xy^2 - 2x + 5y) $
- $ = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y} (3xy^2) - \frac{\partial}{\partial y} (2x) + \frac{\partial}{\partial y} (5y) $ (합/차 미분)
- $ = x^2 \frac{\partial}{\partial y} (y) + 3x \frac{\partial}{\partial y} (y^2) - 2 \frac{\partial}{\partial y} (x) + 5 \frac{\partial}{\partial y} (y) $ (상수 곱 미분, , 3x, -2 는 상수!)
- $ = x^2 \times 1 + 3x \times 2y - 2 \times 0 + 5 \times 1 $ (거듭제곱, 상수 함수 미분)
- $ = x^2 + 6xy + 5 $
편미분은 다변수 함수의 각 변수에 대한 변화율을 알려주는 중요한 도구예요. 인공지능 모델 학습 시 경사하강법 알고리즘에서 다변수 함수의 최솟값을 찾을 때 핵심적으로 활용된답니다.
다변수 함수의 극한과 미분은 처음에는 조금 낯설 수 있지만, 변수가 여러 개라는 점만 제외하면 일변수 함수의 극한과 미분과 기본적인 아이디어는 같아요. 앞으로 인공지능을 배우면서 다변수 함수를 더 많이 만나게 될 거예요. 지금은 이 정도만 알아두어도 충분하답니다! 😊
🎉 대단원 2. 수학 심화 탐험: 극한과 미분 더 알아보기 완료! 🎉
와, 대단원 2까지 완주하시다니 정말 끈기가 대단하네요! 👏 이번 단원에서는 극한 계산의 다양한 레시피부터 삼각함수, 쌍곡선 함수라는 특별한 함수 친구들, 그리고 미분법, 다변수 함수까지, 정말 심도 있는 수학 내용을 배우셨어요. 마치 깊은 동굴 탐험을 끝내고 보물을 발견한 기분이지 않나요? 💎
이번 대단원에서 배우신 내용은 앞으로 인공지능을 더 깊이 이해하는 데 없어서는 안 될 중요한 도구들이 될 거예요. 혹시 아직 헷갈리는 부분이 있더라도 너무 걱정하지 마세요. 수학은 반복과 연습이 중요하니까요! 앞으로 계속해서 배우고 활용하면서 자연스럽게 여러분의 수학 근육💪으로 만들어갈 수 있을 거예요.
자, 이제 다음 여정은 벡터와 행렬이라는 새로운 수학의 핵심 개념을 배우는 대단원 3이랍니다! 벡터와 행렬은 마치 레고 블록처럼, 복잡한 데이터를 정리하고 표현하는 데 아주 유용한 도구예요. 인공지능은 데이터를 먹고 자라는 아이라고 할 수 있는데, 벡터와 행렬은 인공지능이 데이터를 효율적으로 이해하고 처리할 수 있도록 돕는 마법🪄과 같은 존재랍니다! 다음 대단원에서도 흥미진진한 수학 이야기가 여러분을 기다리고 있으니, 힘차게 다음 단원으로 넘어가 볼까요? 😊
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